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はじめに
マーチングキューブアルゴリズムは3次元のスカラー場から等値面（Iso-Surface）を生成するための手法です．以前，『【BPY】数式からメッシュを生成するスクリプト』で紹介した内容の解説編となります．
まずは2次元から理解してみる
いきなり3次元を考えると難しいので，下図のような2次元空間から見ていきます．はじめに下図左部のような関数f（スカラー場）を適当に用意します．この関数fを等間隔のグリッドで分割後，各頂点に値を持たせます（下図右部）．
マーチングキューブアルゴリズム（※）は，各頂点の重みと基準値を考慮して，分割されたグリッドの各辺に沿って補間された値（各頂点）の間に線（上図の赤線）を引くことを目的としています． 上図ではfが基準値の1.5になる部分を探して線で結んでいます．
※2次元空間を考えているので，この場合は"マーチングスクエアアルゴリズム"と呼ぶのが正しい
ここからは，赤線をどのように引いていくかを考えていきます．上図は数字が多くてややこしいので下図のように少しシンプルにしたいと思います． 下図では基準値を1.5と固定した上で，基準値より高い頂点を黒丸，基準値より低い頂点を白丸として図示しています．
赤線を引いていく方法として色々やり方は考えられますが，その中の一つの方法として各グリッド内に生成される赤線のパターンを下図のように全て列挙してしまうという方法を考えます．
2次元の場合はこの16パターンのグリッドを組み合わせることで，ありとあらゆる図形を表現することができます． 関数の値から各頂点が白丸なのか黒丸なのかは既にわかっているので，各グリッドがどのケースに該当するか参照するだけで自動的に赤線を引くことができます（細かい位置調整は必要だけど）．
しかし実はこの方法には問題があり，上図のCase5とCase10ではグリッド内に生成される赤線が一意に定まりません．どういうことかというと，下図の様な場合です．
この問題は3次元でも起こります．入り組んだ複雑な図形では生成される曲面に穴が空いてしまう可能性があり，それを埋める作業が発生するかもしれないということを覚えておいてください．
要素を整理して3次元のパターンを考えてみる
3次元は手強い存在です．空間の次元を拡張するということは，扱うべき要素の数を指数関数的に増大させることを意味します．つまり，3次元を考えるには取り扱う頂点や辺などの要素にしっかり番号を付けて管理した上で考える必要があります．ここからは各ボクセルに含まれる要素（頂点・辺）を，下図のような番号で扱っていきます．
2次元の場合と同じ考え方で各ボクセル内に生成される面のパターンを考えていきます．3次元の各ボクセルには8つの頂点が含まれているため，生成される面のパターンは256（2の8乗）通りとなります．
この256パターンをそれぞれ区別するために下記の表記法を導入したいと思います．
\[
\begin{align}
&Case(v_7,v_6,v_5,v_4,v_3,v_2,v_1,v_0) \\
&= \sum_{i = 0}^{ 7 } (2^i \cdot v_i) \\
&= 2^0 \cdot v_0 + 2^1 \cdot v_1 + \cdots + 2^7 \cdot v_7
\end{align}
\]
ここで，\( v_0 ～ v_7 \)にはそれぞれ以下の条件で0か1の値が入ります．
関数fの値が基準値より高い値のとき（黒丸●）：1
下図に例を示します．この表記法により，あるパターンに対して1つの番号が割り当てられます．結局のところ，頂点の状態を並べた2進表記の情報を10進表記に変換しているだけなんですよねえ．
そしてCase(0,0,0,0,0,0,0,0)=0からCase(1,1,1,1,1,1,1,1)=255まで256通りのパターンを見ていくと，下図のように15種類の基礎パターンに分類できるのだそうだ． これら15種類の基礎パターンを反転・回転・白黒反転すれば全てのパターンを表現できるらしい．――でも結局，分類できるってだけで実装時には256通り考えなきゃいけないんだけどね
ボクセル内にメッシュを生成する方法を考えてみる
ここでは，256通りのパターンに対してどのようにメッシュ（等値面）を生成していくかを考えていきます．前項でも図示していますが，基準値の等値面は3角形のメッシュを組み合わせて生成します．生成される3角形の頂点は全てボクセルの辺上に配置されます．このとき，各頂点がどの辺（e0～e11）を経由していくかをリストにして整理していきます． 1つボクセルには最大で5つの3角形が配置されるので，以下のようなリスト（TriTable）を用意します．
\[
TriTable(Case) = (\boldsymbol{T_1}, \boldsymbol{T_2}, \boldsymbol{T_3}, \boldsymbol{T_4}, \boldsymbol{T_5}, -1)
\]
\( \boldsymbol{T_1} \)～\( \boldsymbol{T_5} \)には3角形の各頂点が経由する辺の番号が3つ入ります．また，リストの順番（左周りなのか右周りなのか）で生成される面の裏表を同時に定義します． 面が無い部分はすべて-1で埋めてしまいます．最後の-1はプログラミング時にリスト読み取りの終了判定をするためのものなので，必ずしもつける必要はありません．これをパターン毎に用意します．
ここまで読んでこう思った方がいるかもしれません．「1つボクセルには最大で5つの3角形が配置されるって？さっきの基礎パターン15組の中に3角形が5個ある図なんて無いんだけど，はいダウト．」
これについて少し補足します．確かに頂点の配置だけみれば15組しかないのは間違ってはいませんが，2次元の場合でも触れたようにマーチングキューブアルゴリズムではボクセル内に生成されるメッシュの形が一意に定まらないパターンがあります．
このため，メッシュ生成のパターンという視点でみれば実は15組以上存在することになります．
それでは本題に戻ります．TriTableの作成は実際に下図の具体例で見た方がわかりやすいと思います．
Case65の場合，2つの3角形（頂点がe0，e8，e3を経由するものと，e5，e10，e6を経由するもの）が生成されます．よってTriTable(65)は以下のようになります．
\[
\begin{align}
\boldsymbol{T_1} &= (0,8,3) \\
\boldsymbol{T_2} &= (5,10,6) \\
\boldsymbol{T_3} &= (-1,-1,-1) \\
\boldsymbol{T_4} &= (-1,-1,-1) \\
\boldsymbol{T_5} &= (-1,-1,-1)
\end{align}
\]
\[
TriTable(65) = (0, 8, 3, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1)
\]
このように，TriTable(0)～TriTable(255)をすべて用意します．しかしこれを全部作ると大変なので，公開されているソースコード を引用してPython用に加工したものを以下に掲載しておきます．
TriTable = [ #Case 0 [-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 1, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 8, 3, 9, 8, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 3, 1, 2, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 2, 10, 0, 2, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 8, 3, 2, 10, 8, 10, 9, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 11, 2, 8, 11, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 10 [1, 9, 0, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 11, 2, 1, 9, 11, 9, 8, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 10, 1, 11, 10, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 10, 1, 0, 8, 10, 8, 11, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 9, 0, 3, 11, 9, 11, 10, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 8, 10, 10, 8, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 7, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 3, 0, 7, 3, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 1, 9, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 1, 9, 4, 7, 1, 7, 3, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 20 [1, 2, 10, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 4, 7, 3, 0, 4, 1, 2, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 2, 10, 9, 0, 2, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 10, 9, 2, 9, 7, 2, 7, 3, 7, 9, 4, -1, -1, -1, -1], [8, 4, 7, 3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [11, 4, 7, 11, 2, 4, 2, 0, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 0, 1, 8, 4, 7, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 7, 11, 9, 4, 11, 9, 11, 2, 9, 2, 1, -1, -1, -1, -1], [3, 10, 1, 3, 11, 10, 7, 8, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 11, 10, 1, 4, 11, 1, 0, 4, 7, 11, 4, -1, -1, -1, -1], #Case 30 [4, 7, 8, 9, 0, 11, 9, 11, 10, 11, 0, 3, -1, -1, -1, -1], [4, 7, 11, 4, 11, 9, 9, 11, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 5, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 5, 4, 0, 8, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 5, 4, 1, 5, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 5, 4, 8, 3, 5, 3, 1, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 10, 9, 5, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 0, 8, 1, 2, 10, 4, 9, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 2, 10, 5, 4, 2, 4, 0, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 10, 5, 3, 2, 5, 3, 5, 4, 3, 4, 8, -1, -1, -1, -1], #Case 40 [9, 5, 4, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 11, 2, 0, 8, 11, 4, 9, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 5, 4, 0, 1, 5, 2, 3, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 1, 5, 2, 5, 8, 2, 8, 11, 4, 8, 5, -1, -1, -1, -1], [10, 3, 11, 10, 1, 3, 9, 5, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 9, 5, 0, 8, 1, 8, 10, 1, 8, 11, 10, -1, -1, -1, -1], [5, 4, 0, 5, 0, 11, 5, 11, 10, 11, 0, 3, -1, -1, -1, -1], [5, 4, 8, 5, 8, 10, 10, 8, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 7, 8, 5, 7, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 3, 0, 9, 5, 3, 5, 7, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 50 [0, 7, 8, 0, 1, 7, 1, 5, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 5, 3, 3, 5, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 7, 8, 9, 5, 7, 10, 1, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 1, 2, 9, 5, 0, 5, 3, 0, 5, 7, 3, -1, -1, -1, -1], [8, 0, 2, 8, 2, 5, 8, 5, 7, 10, 5, 2, -1, -1, -1, -1], [2, 10, 5, 2, 5, 3, 3, 5, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [7, 9, 5, 7, 8, 9, 3, 11, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 5, 7, 9, 7, 2, 9, 2, 0, 2, 7, 11, -1, -1, -1, -1], [2, 3, 11, 0, 1, 8, 1, 7, 8, 1, 5, 7, -1, -1, -1, -1], [11, 2, 1, 11, 1, 7, 7, 1, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 60 [9, 5, 8, 8, 5, 7, 10, 1, 3, 10, 3, 11, -1, -1, -1, -1], [5, 7, 0, 5, 0, 9, 7, 11, 0, 1, 0, 10, 11, 10, 0, -1], [11, 10, 0, 11, 0, 3, 10, 5, 0, 8, 0, 7, 5, 7, 0, -1], [11, 10, 5, 7, 11, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 3, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 0, 1, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 8, 3, 1, 9, 8, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 6, 5, 2, 6, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 6, 5, 1, 2, 6, 3, 0, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 70 [9, 6, 5, 9, 0, 6, 0, 2, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 9, 8, 5, 8, 2, 5, 2, 6, 3, 2, 8, -1, -1, -1, -1], [2, 3, 11, 10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [11, 0, 8, 11, 2, 0, 10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 1, 9, 2, 3, 11, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 10, 6, 1, 9, 2, 9, 11, 2, 9, 8, 11, -1, -1, -1, -1], [6, 3, 11, 6, 5, 3, 5, 1, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 11, 0, 11, 5, 0, 5, 1, 5, 11, 6, -1, -1, -1, -1], [3, 11, 6, 0, 3, 6, 0, 6, 5, 0, 5, 9, -1, -1, -1, -1], [6, 5, 9, 6, 9, 11, 11, 9, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 80 [5, 10, 6, 4, 7, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 3, 0, 4, 7, 3, 6, 5, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 9, 0, 5, 10, 6, 8, 4, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 6, 5, 1, 9, 7, 1, 7, 3, 7, 9, 4, -1, -1, -1, -1], [6, 1, 2, 6, 5, 1, 4, 7, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 5, 5, 2, 6, 3, 0, 4, 3, 4, 7, -1, -1, -1, -1], [8, 4, 7, 9, 0, 5, 0, 6, 5, 0, 2, 6, -1, -1, -1, -1], [7, 3, 9, 7, 9, 4, 3, 2, 9, 5, 9, 6, 2, 6, 9, -1], [3, 11, 2, 7, 8, 4, 10, 6, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 10, 6, 4, 7, 2, 4, 2, 0, 2, 7, 11, -1, -1, -1, -1], #Case 90 [0, 1, 9, 4, 7, 8, 2, 3, 11, 5, 10, 6, -1, -1, -1, -1], [9, 2, 1, 9, 11, 2, 9, 4, 11, 7, 11, 4, 5, 10, 6, -1], [8, 4, 7, 3, 11, 5, 3, 5, 1, 5, 11, 6, -1, -1, -1, -1], [5, 1, 11, 5, 11, 6, 1, 0, 11, 7, 11, 4, 0, 4, 11, -1], [0, 5, 9, 0, 6, 5, 0, 3, 6, 11, 6, 3, 8, 4, 7, -1], [6, 5, 9, 6, 9, 11, 4, 7, 9, 7, 11, 9, -1, -1, -1, -1], [10, 4, 9, 6, 4, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 10, 6, 4, 9, 10, 0, 8, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 0, 1, 10, 6, 0, 6, 4, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 3, 1, 8, 1, 6, 8, 6, 4, 6, 1, 10, -1, -1, -1, -1], #Case 100 [1, 4, 9, 1, 2, 4, 2, 6, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 0, 8, 1, 2, 9, 2, 4, 9, 2, 6, 4, -1, -1, -1, -1], [0, 2, 4, 4, 2, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 3, 2, 8, 2, 4, 4, 2, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 4, 9, 10, 6, 4, 11, 2, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 2, 2, 8, 11, 4, 9, 10, 4, 10, 6, -1, -1, -1, -1], [3, 11, 2, 0, 1, 6, 0, 6, 4, 6, 1, 10, -1, -1, -1, -1], [6, 4, 1, 6, 1, 10, 4, 8, 1, 2, 1, 11, 8, 11, 1, -1], [9, 6, 4, 9, 3, 6, 9, 1, 3, 11, 6, 3, -1, -1, -1, -1], [8, 11, 1, 8, 1, 0, 11, 6, 1, 9, 1, 4, 6, 4, 1, -1], #Case 110 [3, 11, 6, 3, 6, 0, 0, 6, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [6, 4, 8, 11, 6, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [7, 10, 6, 7, 8, 10, 8, 9, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 7, 3, 0, 10, 7, 0, 9, 10, 6, 7, 10, -1, -1, -1, -1], [10, 6, 7, 1, 10, 7, 1, 7, 8, 1, 8, 0, -1, -1, -1, -1], [10, 6, 7, 10, 7, 1, 1, 7, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 6, 1, 6, 8, 1, 8, 9, 8, 6, 7, -1, -1, -1, -1], [2, 6, 9, 2, 9, 1, 6, 7, 9, 0, 9, 3, 7, 3, 9, -1], [7, 8, 0, 7, 0, 6, 6, 0, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [7, 3, 2, 6, 7, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 120 [2, 3, 11, 10, 6, 8, 10, 8, 9, 8, 6, 7, -1, -1, -1, -1], [2, 0, 7, 2, 7, 11, 0, 9, 7, 6, 7, 10, 9, 10, 7, -1], [1, 8, 0, 1, 7, 8, 1, 10, 7, 6, 7, 10, 2, 3, 11, -1], [11, 2, 1, 11, 1, 7, 10, 6, 1, 6, 7, 1, -1, -1, -1, -1], [8, 9, 6, 8, 6, 7, 9, 1, 6, 11, 6, 3, 1, 3, 6, -1], [0, 9, 1, 11, 6, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [7, 8, 0, 7, 0, 6, 3, 11, 0, 11, 6, 0, -1, -1, -1, -1], [7, 11, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 0, 8, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 130 [0, 1, 9, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 1, 9, 8, 3, 1, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 1, 2, 6, 11, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 10, 3, 0, 8, 6, 11, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 9, 0, 2, 10, 9, 6, 11, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [6, 11, 7, 2, 10, 3, 10, 8, 3, 10, 9, 8, -1, -1, -1, -1], [7, 2, 3, 6, 2, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [7, 0, 8, 7, 6, 0, 6, 2, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 7, 6, 2, 3, 7, 0, 1, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 6, 2, 1, 8, 6, 1, 9, 8, 8, 7, 6, -1, -1, -1, -1], #Case 140 [10, 7, 6, 10, 1, 7, 1, 3, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 7, 6, 1, 7, 10, 1, 8, 7, 1, 0, 8, -1, -1, -1, -1], [0, 3, 7, 0, 7, 10, 0, 10, 9, 6, 10, 7, -1, -1, -1, -1], [7, 6, 10, 7, 10, 8, 8, 10, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [6, 8, 4, 11, 8, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 6, 11, 3, 0, 6, 0, 4, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 6, 11, 8, 4, 6, 9, 0, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 4, 6, 9, 6, 3, 9, 3, 1, 11, 3, 6, -1, -1, -1, -1], [6, 8, 4, 6, 11, 8, 2, 10, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 10, 3, 0, 11, 0, 6, 11, 0, 4, 6, -1, -1, -1, -1], #Case 150 [4, 11, 8, 4, 6, 11, 0, 2, 9, 2, 10, 9, -1, -1, -1, -1], [10, 9, 3, 10, 3, 2, 9, 4, 3, 11, 3, 6, 4, 6, 3, -1], [8, 2, 3, 8, 4, 2, 4, 6, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 4, 2, 4, 6, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 9, 0, 2, 3, 4, 2, 4, 6, 4, 3, 8, -1, -1, -1, -1], [1, 9, 4, 1, 4, 2, 2, 4, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 1, 3, 8, 6, 1, 8, 4, 6, 6, 10, 1, -1, -1, -1, -1], [10, 1, 0, 10, 0, 6, 6, 0, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 6, 3, 4, 3, 8, 6, 10, 3, 0, 3, 9, 10, 9, 3, -1], [10, 9, 4, 6, 10, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 160 [4, 9, 5, 7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 3, 4, 9, 5, 11, 7, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 0, 1, 5, 4, 0, 7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [11, 7, 6, 8, 3, 4, 3, 5, 4, 3, 1, 5, -1, -1, -1, -1], [9, 5, 4, 10, 1, 2, 7, 6, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [6, 11, 7, 1, 2, 10, 0, 8, 3, 4, 9, 5, -1, -1, -1, -1], [7, 6, 11, 5, 4, 10, 4, 2, 10, 4, 0, 2, -1, -1, -1, -1], [3, 4, 8, 3, 5, 4, 3, 2, 5, 10, 5, 2, 11, 7, 6, -1], [7, 2, 3, 7, 6, 2, 5, 4, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 5, 4, 0, 8, 6, 0, 6, 2, 6, 8, 7, -1, -1, -1, -1], #Case 170 [3, 6, 2, 3, 7, 6, 1, 5, 0, 5, 4, 0, -1, -1, -1, -1], [6, 2, 8, 6, 8, 7, 2, 1, 8, 4, 8, 5, 1, 5, 8, -1], [9, 5, 4, 10, 1, 6, 1, 7, 6, 1, 3, 7, -1, -1, -1, -1], [1, 6, 10, 1, 7, 6, 1, 0, 7, 8, 7, 0, 9, 5, 4, -1], [4, 0, 10, 4, 10, 5, 0, 3, 10, 6, 10, 7, 3, 7, 10, -1], [7, 6, 10, 7, 10, 8, 5, 4, 10, 4, 8, 10, -1, -1, -1, -1], [6, 9, 5, 6, 11, 9, 11, 8, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 6, 11, 0, 6, 3, 0, 5, 6, 0, 9, 5, -1, -1, -1, -1], [0, 11, 8, 0, 5, 11, 0, 1, 5, 5, 6, 11, -1, -1, -1, -1], [6, 11, 3, 6, 3, 5, 5, 3, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 180 [1, 2, 10, 9, 5, 11, 9, 11, 8, 11, 5, 6, -1, -1, -1, -1], [0, 11, 3, 0, 6, 11, 0, 9, 6, 5, 6, 9, 1, 2, 10, -1], [11, 8, 5, 11, 5, 6, 8, 0, 5, 10, 5, 2, 0, 2, 5, -1], [6, 11, 3, 6, 3, 5, 2, 10, 3, 10, 5, 3, -1, -1, -1, -1], [5, 8, 9, 5, 2, 8, 5, 6, 2, 3, 8, 2, -1, -1, -1, -1], [9, 5, 6, 9, 6, 0, 0, 6, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 5, 8, 1, 8, 0, 5, 6, 8, 3, 8, 2, 6, 2, 8, -1], [1, 5, 6, 2, 1, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 3, 6, 1, 6, 10, 3, 8, 6, 5, 6, 9, 8, 9, 6, -1], [10, 1, 0, 10, 0, 6, 9, 5, 0, 5, 6, 0, -1, -1, -1, -1], #Case 190 [0, 3, 8, 5, 6, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 5, 6, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [11, 5, 10, 7, 5, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [11, 5, 10, 11, 7, 5, 8, 3, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 11, 7, 5, 10, 11, 1, 9, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [10, 7, 5, 10, 11, 7, 9, 8, 1, 8, 3, 1, -1, -1, -1, -1], [11, 1, 2, 11, 7, 1, 7, 5, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 3, 1, 2, 7, 1, 7, 5, 7, 2, 11, -1, -1, -1, -1], [9, 7, 5, 9, 2, 7, 9, 0, 2, 2, 11, 7, -1, -1, -1, -1], [7, 5, 2, 7, 2, 11, 5, 9, 2, 3, 2, 8, 9, 8, 2, -1], #Case 200 [2, 5, 10, 2, 3, 5, 3, 7, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 2, 0, 8, 5, 2, 8, 7, 5, 10, 2, 5, -1, -1, -1, -1], [9, 0, 1, 5, 10, 3, 5, 3, 7, 3, 10, 2, -1, -1, -1, -1], [9, 8, 2, 9, 2, 1, 8, 7, 2, 10, 2, 5, 7, 5, 2, -1], [1, 3, 5, 3, 7, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 7, 0, 7, 1, 1, 7, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 0, 3, 9, 3, 5, 5, 3, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 8, 7, 5, 9, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 8, 4, 5, 10, 8, 10, 11, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [5, 0, 4, 5, 11, 0, 5, 10, 11, 11, 3, 0, -1, -1, -1, -1], #Case 210 [0, 1, 9, 8, 4, 10, 8, 10, 11, 10, 4, 5, -1, -1, -1, -1], [10, 11, 4, 10, 4, 5, 11, 3, 4, 9, 4, 1, 3, 1, 4, -1], [2, 5, 1, 2, 8, 5, 2, 11, 8, 4, 5, 8, -1, -1, -1, -1], [0, 4, 11, 0, 11, 3, 4, 5, 11, 2, 11, 1, 5, 1, 11, -1], [0, 2, 5, 0, 5, 9, 2, 11, 5, 4, 5, 8, 11, 8, 5, -1], [9, 4, 5, 2, 11, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 5, 10, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 3, 8, 4, -1, -1, -1, -1], [5, 10, 2, 5, 2, 4, 4, 2, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 10, 2, 3, 5, 10, 3, 8, 5, 4, 5, 8, 0, 1, 9, -1], [5, 10, 2, 5, 2, 4, 1, 9, 2, 9, 4, 2, -1, -1, -1, -1], #Case 220 [8, 4, 5, 8, 5, 3, 3, 5, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 4, 5, 1, 0, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [8, 4, 5, 8, 5, 3, 9, 0, 5, 0, 3, 5, -1, -1, -1, -1], [9, 4, 5, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 11, 7, 4, 9, 11, 9, 10, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 8, 3, 4, 9, 7, 9, 11, 7, 9, 10, 11, -1, -1, -1, -1], [1, 10, 11, 1, 11, 4, 1, 4, 0, 7, 4, 11, -1, -1, -1, -1], [3, 1, 4, 3, 4, 8, 1, 10, 4, 7, 4, 11, 10, 11, 4, -1], [4, 11, 7, 9, 11, 4, 9, 2, 11, 9, 1, 2, -1, -1, -1, -1], [9, 7, 4, 9, 11, 7, 9, 1, 11, 2, 11, 1, 0, 8, 3, -1], #Case 230 [11, 7, 4, 11, 4, 2, 2, 4, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [11, 7, 4, 11, 4, 2, 8, 3, 4, 3, 2, 4, -1, -1, -1, -1], [2, 9, 10, 2, 7, 9, 2, 3, 7, 7, 4, 9, -1, -1, -1, -1], [9, 10, 7, 9, 7, 4, 10, 2, 7, 8, 7, 0, 2, 0, 7, -1], [3, 7, 10, 3, 10, 2, 7, 4, 10, 1, 10, 0, 4, 0, 10, -1], [1, 10, 2, 8, 7, 4, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 9, 1, 4, 1, 7, 7, 1, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 9, 1, 4, 1, 7, 0, 8, 1, 8, 7, 1, -1, -1, -1, -1], [4, 0, 3, 7, 4, 3, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [4, 8, 7, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 240 [9, 10, 8, 10, 11, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 0, 9, 3, 9, 11, 11, 9, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 1, 10, 0, 10, 8, 8, 10, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 1, 10, 11, 3, 10, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 2, 11, 1, 11, 9, 9, 11, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 0, 9, 3, 9, 11, 1, 2, 9, 2, 11, 9, -1, -1, -1, -1], [0, 2, 11, 8, 0, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [3, 2, 11, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [2, 3, 8, 2, 8, 10, 10, 8, 9, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [9, 10, 2, 0, 9, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], #Case 250 [2, 3, 8, 2, 8, 10, 0, 1, 8, 1, 10, 8, -1, -1, -1, -1], [1, 10, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [1, 3, 8, 9, 1, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 9, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [0, 3, 8, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1], [-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] ]
メッシュの頂点座標を計算する
ここまで来たらもう説明は要らないとは思いますが，辺番号（e0～e11）について座標を求めていきます．ボクセルの大きさを\( \Delta x, \Delta y, \Delta z \)とします．
頂点の座標は以下のようになります．
\[
\begin{align}
\boldsymbol{e_0} &= (x + \alpha, y + \Delta y, z) \\
\boldsymbol{e_1} &= (x + \Delta x, y + \alpha, z) \\
\boldsymbol{e_2} &= (x + \alpha, y, z) \\
\boldsymbol{e_3} &= (x, y + \alpha, z) \\
\boldsymbol{e_4} &= (x + \alpha, y + \Delta y, z + \Delta z) \\
\boldsymbol{e_5} &= (x + \Delta x, y + \alpha, z + \Delta z) \\
\boldsymbol{e_6} &= (x + \alpha, y, z + \Delta z) \\
\boldsymbol{e_7} &= (x, y + \alpha, z + \Delta z) \\
\boldsymbol{e_8} &= (x, y + \Delta y, z + \alpha) \\
\boldsymbol{e_9} &= (x + \Delta x, y + \Delta y, z + \alpha) \\
\boldsymbol{e_{10}} &= (x + \Delta x, y, z + \alpha) \\
\boldsymbol{e_{11}} &= (x, y, z + \alpha)
\end{align}
\]
最後に位置調整のための\( \alpha \)を求めます．\( \left|\boldsymbol{p_b} - \boldsymbol{p_a} \right| \)は2点間の距離です．ごちゃごちゃ書いてるように見えますが，要はただの線形補間です．
\[
\alpha = \left|\boldsymbol{p_b} - \boldsymbol{p_a} \right| (IsoValue - f_a) / (f_b - f_a)
\]
解説は以上となります．